円板と円筒に関する形態係数（View Factor）

以前の記事で、微小表面から円板への形態係数（View Factor）の解析解を導出した。 この結果を用いると、有限の面積を持った円板と円筒に関連する様々なView Factorを求めることができる。 この記事では、円板と円筒に関するView Factorを実際に導出してみよう。

半径$R_1$の円板から半径$R_2$の円板へのView Factor

Figure 1のように、半径$R_1$の円板1と半径$R_2$の円板2が、距離$h$だけ離れて平行に配置されているとする。 円板1から円板2へのView Factorは、微小表面から円板2へのView Factorを円板1上で積分して、円板1の面積で割ってやれば求めることができる。

Figure 1: Geometrical Configuration of two Parallel Disks for View Factor Evaluation.

微小表面から円板へのView Factorは以前の記事で導出したので、関連する結果だけ確認しておこう。 ここで、パラメタ$a$は円板の中心から微小表面までの距離を表す。

$$\begin{align} F_\mathrm{offset} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\frac{a^2 + h^2 - R_2^2}{\sqrt{(R_2^2 + a^2 + h^2)^2 - 4a^2R_2^2}} \end{align}$$

微小表面からのView Factorを、円板1上で積分すると次のように表される。

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} \int_0^{R_1} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\frac{a^2 + h^2 - R_2^2}{\sqrt{(R_2^2 + a^2 + h^2)^2 - 4a^2R_2^2}}\right) a~ da d\theta \notag \\ &= \pi \int_0^{R_1} a~ da - \pi \int_0^{R_1} \frac{(a^2 + h^2 - R_2^2)}{\sqrt{(R_2^2 + a^2 + h^2)^2 - 4a^2R_2^2}} a~ da \notag \\ &= \frac{\pi}{2} R_1^2 - \pi \int_0^{R_1} \frac{(a^2 + h^2 - R_2^2)}{\sqrt{(a^2 + h^2 - R_2^2)^2 + 4h^2R_2^2}} a~ da \notag \\ &= \frac{\pi}{2} R_1^2 - \frac{\pi}{2} \left[ \sqrt{(a^2 + h^2 -R_2^2)^2 + 4h^2R_2^2} \right]_0^{R_1} \notag \\ &= \frac{\pi}{2} R_1^2 - \frac{\pi}{2} \left\{ \sqrt{(R_1^2 + h^2 -R_2^2)^2 + 4h^2R_2^2} - (h^2 +R_2^2) \right\} \end{align}$$

積分結果を円板1の面積で割ると、円板1から円板2へのView Factorは次のように表される。

$$\begin{align} F_{12} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left\{ \sqrt{\left(1 + \frac{h^2}{R_1^2} -\frac{R_2^2}{R_1^2}\right)^2 + \frac{4h^2R_2^2}{R_1^4}} - \left(\frac{h^2}{R_1^2} +\frac{R_2^2}{R_1^2}\right) \right\} \notag \\ &=\frac{1}{2}\left(1 + \frac{h^2}{R_1^2} +\frac{R_2^2}{R_1^2}\right) - \frac{1}{2} \sqrt{\left(1 + \frac{h^2}{R_1^2} -\frac{R_2^2}{R_1^2}\right)^2 + \frac{4h^2R_2^2}{R_1^4}} \end{align}$$

特に、$R_1 = R_2 = R$のときは、次のように簡略化される。

$$\begin{equation} F_{12} = \frac{1}{2} \left\{ 2 + \frac{h^2}{R^2} - \sqrt{\frac{h^4}{R^4} + 4\frac{h^2}{R^2}} \right\} \end{equation}$$

円筒型容器の内側の面同士のView Factor

次にFigure 2のような、円筒型の容器の内側の面同士のView Factorを求めてみよう。

Figure 2: View Factor Evaluation for Cylinder Inner Walls.

まず、底面から上面へのView Factorはすでに求めたように、(4)の式で表される。 底面からは、上面あるいは円筒の側面のみが見えるので、底面から側面へのView Factorは次のように表される。

$$\begin{align} F_{13} &= 1 - F_{12} = \frac{1}{2} \left\{ - \frac{h^2}{R^2} + \sqrt{\frac{h^4}{R^4} + 4\frac{h^2}{R^2}} \right\} \end{align}$$

逆に、側面から底面へのView Factorは、Reciprocal Relationを用いて次のように表される。 側面から上面へのView Factorも同様に表される。

$$\begin{align} F_{31} &= \frac{A_1}{A_3} F_{13} = \frac{R}{4h} \left\{ - \frac{h^2}{R^2} + \sqrt{\frac{h^4}{R^4} + 4\frac{h^2}{R^2}} \right\} \notag \\ &= - \frac{h}{4R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h^2}{R^2} + 4} \end{align}$$

円筒の側面からは、底面と上面、および側面自身が見えるので、自分自身へのView Factorは次のように表される。

$$\begin{align} F_{33} = 1 - 2 F_{31} = 1 + \frac{h}{2R} - \sqrt{\frac{h^2}{4R^2} + 1} \end{align}$$

円筒の内側面を分割する

さらに、円筒の内側面を分割して、円筒側面の一部分のView Factorを求めてみよう。 まず、Figure 3のように、円筒の内側面を上下に分割して、上側の面を3A、下側の面を3Bとする。

Figure 3: View Factor Evaluation for a Part of Cylinder Inner Wall.

先ほどの結果(5)を用いると、底面から、少し離れた円筒側面へのView Factorを計算することができる。

$$\begin{align} &F_{1-3A} = F_{1-3A3B} - F_{1-3B} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ - \frac{h_A^2 + 2h_A h_B}{R^2} + \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^4}{R^4} + 4\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2}} - \sqrt{\frac{h_B^4}{R^4} + 4\frac{h_B^2}{R^2}} \right\} \end{align}$$

この結果についても、Reciprocal Relationを用いて、側面から底面へのView Factorを求めることができる。

$$\begin{align} &F_{3A-1} = \frac{A_1}{A_{3A}} F_{1-3A} \notag \\ &= \frac{R}{4h_A} \left\{ - \frac{h_A^2 + 2h_A h_B}{R^2} + \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^4}{R^4} + 4\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2}} - \sqrt{\frac{h_B^4}{R^4} + 4\frac{h_B^2}{R^2}} \right\} \end{align}$$

この結果を用いて、側面から隣の側面へのView Factorを求めることができる。

$$\begin{align} &F_{3A-3B} = F_{3A-2} - F_{3A-1} \notag \\ &=-\frac{h_A}{4R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h_A^2}{R^2} + 4} - \frac{R}{4h_A} \notag \\ &\quad \times \left\{ - \frac{h_A^2 + 2h_A h_B}{R^2}+ \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^4}{R^4} + 4\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2}} - \sqrt{\frac{h_B^4}{R^4} + 4\frac{h_B^2}{R^2}} \right\} \notag \\ &=\frac{h_B}{2R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h_A^2}{R^2} + 4} - \frac{R}{4h_A} \left\{\sqrt{\frac{(h_A + h_B)^4}{R^4} + 4\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2}} - \sqrt{\frac{h_B^4}{R^4} + 4\frac{h_B^2}{R^2}} \right\} \notag \\ &=\frac{h_B}{2R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h_A^2}{R^2} + 4} + \frac{h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{h_B^2}{R^2} + 4} - \frac{h_A + h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2} + 4} \end{align}$$

最後に、円筒の側面同士のView Factorで、より一般的なケースについて考えてみよう。 Figure 4に示すように、円筒の側面を3つに分割して、上側の面を3A、中央の面を3B、下側の面を3Cとする。

Figure 4: View Factor between Cylinder Inner Walls.

隣同士の側面のView Factorはすでに導出したので、これをもとに3Aから3CへのView Factorを求めることができる。

$$\begin{align} &F_{3A-3C} = F_{3A-3B3C} - F_{3A-3B} \notag \\ &= \frac{(h_B+h_C)}{2R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h_A^2}{R^2} + 4} + \frac{h_B+h_C}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_B+h_C)^2}{R^2} + 4} \notag \\ &\quad- \frac{h_A + h_B+h_C}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_A + h_B+h_C)^2}{R^2} + 4} \notag \\ &\quad- \left\{ \frac{h_B}{2R} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{h_A^2}{R^2} + 4} + \frac{h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{h_B^2}{R^2} + 4} - \frac{h_A + h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2} + 4} \right\} \notag \\ &=\frac{h_C}{2R} + \frac{h_B+h_C}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_B+h_C)^2}{R^2} + 4} - \frac{h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{h_B^2}{R^2} + 4} \notag \\ &\quad- \frac{h_A + h_B+h_C}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_A + h_B+h_C)^2}{R^2} + 4} + \frac{h_A + h_B}{4h_A} \sqrt{\frac{(h_A + h_B)^2}{R^2} + 4} \end{align}$$

$h_A, h_B, h_C$の値は自由に設定できるので、任意の間隔、幅をもった側面同士のView Factorを求めることができた。

Reference

1. John R. Howell, M. Pinar Mengüç, “Radiative transfer configuration factor catalog: A listing of relations for common geometries”, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, Volume 112, Issue 5, 2011, Pages 910-912, https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2010.10.002
2. A Catalog of Configuration Factors, 3rd Edition, https://www.thermalradiation.net/indexCat.html
3. View Factor Calculator, https://sterad.net