July 21, 2025 Last updated: July 25, 2025
Introduction
今回は、微小表面から円板へのView Factor例に、View Factorの解析解を導出する方法について解説する。
View Factorは、２つ表面間の熱輻射のエネルギー交換を表すパラメタで、それぞれの表面の形状と位置関係のみによって決まる。
過去に様々な形状関するView Factorの解析解が導出されており、Prof. Howell, Prof Mengüç [1,2] によって詳しくまとめられている。
また、いくつかの形状に関しては、オンラインツール[3] を使用して計算することもできる。
さて、今回注目する微小表面と円板の形状、および位置関係はFigure 1のように、( R , h , ω ) (R,~h,~\omega) ( R , h , ω )
Figure 1: Geometrical Configuration of a Disk and a Plate Element for View Factor Evaluation.
面積分によるView Factorの計算
定義どおり真面目に積分してやればView Factorを計算することが出来る。
F = ∫ A cos Ω cos Λ π S 2 d A = ∫ 0 R ∫ 0 2 π cos Ω cos Λ π ( r 2 + h 2 ) r d β d r = ∫ 0 R ∫ 0 2 π r 2 h sin ω cos β + r h 2 cos ω π ( r 2 + h 2 ) 2 d β d r = ∫ 0 R 2 r h 2 cos ω ( r 2 + h 2 ) 2 d r = [ − h 2 cos ω r 2 + h 2 ] 0 R = R 2 R 2 + h 2 cos ω = 1 1 + ( h R ) 2 cos ω \begin{align}
F &= \int_A \frac{\cos \Omega \cos \Lambda}{\pi S^2} dA
= \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{\cos \Omega \cos \Lambda}{\pi (r^2+h^2)}\ r d \beta dr \notag \\
&= \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{r^2h \sin \omega \cos \beta + rh^2 \cos \omega}{\pi (r^2+h^2)^2} d\beta dr
= \int_0^R \frac{2 rh^2 \cos \omega}{(r^2+h^2)^2} dr \notag \\
&= \left[- \frac{h^2 \cos \omega}{r^2 + h^2} \right]^R_0
= \frac{R^2}{R^2 + h^2} \cos \omega = \frac{1}{1 + (\frac{h}{R})^2} \cos \omega
\end{align} F = ∫ A π S 2 cos Ω cos Λ d A = ∫ 0 R ∫ 0 2 π π ( r 2 + h 2 ) cos Ω cos Λ r d β d r = ∫ 0 R ∫ 0 2 π π ( r 2 + h 2 ) 2 r 2 h sin ω cos β + r h 2 cos ω d β d r = ∫ 0 R ( r 2 + h 2 ) 2 2 r h 2 cos ω d r = [ − r 2 + h 2 h 2 cos ω ] 0 R = R 2 + h 2 R 2 cos ω = 1 + ( R h ) 2 1 cos ω ただし、cos Ω \cos \Omega cos Ω cos Λ \cos \Lambda cos Λ
cos Ω = ω ⋅ r ∥ ω ∥ ∥ r ∥ = r sin ω cos β + h cos ω r 2 + h 2 w h e r e ω = ( sin ω 0 cos ω ) , r = ( r cos α r sin α h ) \begin{align}
&\cos \Omega = \frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{\omega}\| \|\boldsymbol{r}\|}
= \frac{r \sin \omega \cos \beta + h \cos \omega}{\sqrt{r^2 + h^2}} \\
&\mathrm{where}\quad\boldsymbol{\omega} = \left( \begin{array}{c} \sin\omega \\ 0 \\ \cos \omega \end{array} \right), \hspace{10pt}
\boldsymbol{r} = \left( \begin{array}{c} r \cos \alpha \\ r \sin \alpha \\ h \end{array} \right) \notag
\end{align} cos Ω = ∥ ω ∥∥ r ∥ ω ⋅ r = r 2 + h 2 r sin ω cos β + h cos ω where ω = sin ω 0 cos ω , r = r cos α r sin α h h tan Λ = r , cos Λ = h r 2 + h 2 \begin{equation}
h \tan \Lambda = r, \quad
\cos \Lambda = \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}}
\end{equation} h tan Λ = r , cos Λ = r 2 + h 2 h ここまでに計算したのは、円板全体が見えている場合だ。もし微小表面の方向がもう少し倒れてくる（ω > arctan h R \omega > \arctan \frac{h}{R} ω > arctan R h
Figure 2: Disk View Factor Calculation by Area Integration.
積分を実行するために、積分領域を2つに分割する。1つ目は円弧状の領域（0 ≤ β ≤ β 0 0 \le \beta \le \beta_0 0 ≤ β ≤ β 0
F = ∫ A cos Ω cos Λ π S 2 d A = ∫ 0 R ∫ 0 β 0 2 cos Ω cos Λ π ( r 2 + h 2 ) r d β d r + ∫ R cos β 0 0 ∫ 0 x tan β 0 2 cos Ω cos Λ π ( x 2 + y 2 + h 2 ) d y d x = ∫ 0 R ∫ 0 β 0 2 r 2 h sin ω cos β + 2 r h 2 cos ω π ( r 2 + h 2 ) 2 d β d r + ∫ R cos β 0 0 ∫ 0 x tan β 0 2 x h sin ω + 2 h 2 cos ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 d y d x = ∫ 0 R 2 r 2 h sin ω sin β 0 π ( r 2 + h 2 ) 2 d r + ∫ 0 R 2 β 0 r h 2 cos ω π ( r 2 + h 2 ) 2 d r + ∫ 0 R sin β 0 ∫ R cos β 0 y tan β 0 2 x h sin ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 d x d y + ∫ R cos β 0 0 ∫ 0 x tan β 0 2 h 2 cos ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 d y d x \begin{align}
&F = \int_A \frac{\cos \Omega \cos \Lambda}{\pi S^2} dA \notag \\
&= \int_0^R \int_{0}^{\beta_0} \frac{2 \cos \Omega \cos \Lambda}{\pi (r^2+h^2)} r d \beta dr + \int^0_{R \cos \beta_0} \int_0^{x \tan \beta_0} \frac{2 \cos \Omega \cos \Lambda}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)} dy dx \notag \\
&= \int^R_0 \int_{0}^{\beta_0} \frac{2r^2h \sin \omega \cos \beta + 2rh^2 \cos \omega}{\pi (r^2 + h^2)^2} d\beta dr + \int^0_{R \cos \beta_0} \int_0^{x \tan \beta_0} \frac{2xh \sin \omega + 2h^2 \cos \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)^2} dy dx \notag \\
&= \int^R_0 \frac{2r^2h \sin \omega \sin \beta_0}{\pi (r^2 + h^2)^2}dr + \int^R_0 \frac{2\beta_0 rh^2 \cos \omega}{\pi (r^2 + h^2)^2}dr + \int_0^{R \sin \beta_0} \int^{\frac{y}{\tan \beta_0}}_{R \cos \beta_0} \frac{2xh \sin \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)^2} dx dy \notag \\
&\hspace{11pt}+ \int^0_{R \cos \beta_0} \int_0^{x \tan \beta_0} \frac{2h^2 \cos \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)^2} dy dx
\end{align} F = ∫ A π S 2 cos Ω cos Λ d A = ∫ 0 R ∫ 0 β 0 π ( r 2 + h 2 ) 2 cos Ω cos Λ r d β d r + ∫ R c o s β 0 0 ∫ 0 x t a n β 0 π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 cos Ω cos Λ d y d x = ∫ 0 R ∫ 0 β 0 π ( r 2 + h 2 ) 2 2 r 2 h sin ω cos β + 2 r h 2 cos ω d β d r + ∫ R c o s β 0 0 ∫ 0 x t a n β 0 π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 2 x h sin ω + 2 h 2 cos ω d y d x = ∫ 0 R π ( r 2 + h 2 ) 2 2 r 2 h sin ω sin β 0 d r + ∫ 0 R π ( r 2 + h 2 ) 2 2 β 0 r h 2 cos ω d r + ∫ 0 R s i n β 0 ∫ R c o s β 0 t a n β 0 y π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 2 x h sin ω d x d y + ∫ R c o s β 0 0 ∫ 0 x t a n β 0 π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 2 h 2 cos ω d y d x 三角形部分での、cos Ω \cos \Omega cos Ω cos Λ \cos \Lambda cos Λ
cos Ω = ω ⋅ r ∥ ω ∥ ∥ r ∥ = x sin ω + h cos ω x 2 + y 2 + h 2 w h e r e ω = ( sin ω 0 cos ω ) , r = ( x y h ) \begin{align}
&\cos \Omega = \frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{\omega}\| \|\boldsymbol{r}\|} = \frac{x \sin \omega + h \cos \omega}{\sqrt{x^2 + y^2 + h^2}} \\
&\mathrm{where}\quad \boldsymbol{\omega} = \left( \begin{array}{c} \sin\omega \\ 0 \\ \cos \omega \end{array} \right), \hspace{5pt}
\boldsymbol{r} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ h \end{array} \right) \notag
\end{align} cos Ω = ∥ ω ∥∥ r ∥ ω ⋅ r = x 2 + y 2 + h 2 x sin ω + h cos ω where ω = sin ω 0 cos ω , r = x y h h tan Λ = x 2 + y 2 , cos Λ = h x 2 + y 2 + h 2 \begin{gather}
h \tan \Lambda = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad
\cos \Lambda = \frac{h}{\sqrt{x^2 + y^2 + h^2}}
\end{gather} h tan Λ = x 2 + y 2 , cos Λ = x 2 + y 2 + h 2 h ここから順番に各項の積分を求めていく。
1項目：
∫ 0 R 2 r 2 h sin ω sin β 0 π ( r 2 + h 2 ) 2 d r = 2 sin ω sin β 0 π ∫ 0 R h u 2 ( u 2 + 1 ) 2 d u , w h e r e u = r h = 2 sin ω sin β 0 π ∫ 0 arctan R h tan 2 t ( tan 2 t + 1 ) 2 d t cos 2 t , w h e r e tan t = u = 2 sin ω sin β 0 π ∫ 0 arctan R h sin 2 t d t = sin ω sin β 0 π ∫ 0 arctan R h 1 − cos 2 t d t = sin ω sin β 0 π [ t − 1 2 sin 2 t ] 0 arctan R h = sin ω sin β 0 π [ t − tan t 1 + tan 2 t ] 0 arctan R h = sin ω sin β 0 π ( arctan R h − R h R 2 + h 2 ) \begin{align}
&\int^R_0 \frac{2r^2h \sin \omega \sin \beta_0}{\pi (r^2 + h^2)^2}dr
= \frac{2 \sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \int_0^{\frac{R}{h}} \frac{u^2}{(u^2 + 1)^2} du,
\hspace{10pt} \mathrm{where}\ u=\frac{r}{h} \notag \\
&= \frac{2 \sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \int_0^{\arctan \frac{R}{h}} \frac{\tan^2 t}{(\tan^2 t + 1)^2} \frac{dt}{\cos^2 t},
\hspace{10pt} \mathrm{where}\ \tan t=u \notag \\
&= \frac{2 \sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \int_0^{\arctan \frac{R}{h}} \sin^2 t dt
= \frac{\sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \int_0^{\arctan \frac{R}{h}} 1 - \cos 2t dt \notag \\
&= \frac{\sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \left[t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]^{\arctan \frac{R}{h}}_0
= \frac{\sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \left[t - \frac{\tan t}{1+ \tan^2 t} \right]^{\arctan \frac{R}{h}}_0 \notag \\
&= \frac{\sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \left( \arctan \frac{R}{h} - \frac{Rh}{R^2 + h^2} \right)
\end{align} ∫ 0 R π ( r 2 + h 2 ) 2 2 r 2 h sin ω sin β 0 d r = π 2 sin ω sin β 0 ∫ 0 h R ( u 2 + 1 ) 2 u 2 d u , where u = h r = π 2 sin ω sin β 0 ∫ 0 a r c t a n h R ( tan 2 t + 1 ) 2 tan 2 t cos 2 t d t , where tan t = u = π 2 sin ω sin β 0 ∫ 0 a r c t a n h R sin 2 t d t = π sin ω sin β 0 ∫ 0 a r c t a n h R 1 − cos 2 t d t = π sin ω sin β 0 [ t − 2 1 sin 2 t ] 0 a r c t a n h R = π sin ω sin β 0 [ t − 1 + tan 2 t tan t ] 0 a r c t a n h R = π sin ω sin β 0 ( arctan h R − R 2 + h 2 R h ) 2項目：
∫ 0 R 2 β 0 r h 2 cos ω π ( r 2 + h 2 ) 2 d r = [ − β 0 h 2 cos ω π ( r 2 + h 2 ) ] 0 R = β 0 cos ω π R 2 R 2 + h 2 = β 0 cos ω π 1 1 + ( h / R ) 2 \begin{align}
&\int^R_0 \frac{2\beta_0 rh^2 \cos \omega}{\pi (r^2 + h^2)^2}dr
= \left[ - \frac{\beta_0 h^2 \cos \omega}{\pi (r^2 + h^2)} \right]^R_0
= \frac{\beta_0 \cos \omega}{\pi} \frac{R^2}{R^2 + h^2} \notag \\
&= \frac{\beta_0 \cos \omega}{\pi} \frac{1}{1 + (h/R)^2}
\end{align} ∫ 0 R π ( r 2 + h 2 ) 2 2 β 0 r h 2 cos ω d r = [ − π ( r 2 + h 2 ) β 0 h 2 cos ω ] 0 R = π β 0 cos ω R 2 + h 2 R 2 = π β 0 cos ω 1 + ( h / R ) 2 1 3項目：
∫ 0 R sin β 0 ∫ R cos β 0 y tan β 0 2 x h sin ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 d x d y = ∫ 0 R sin β 0 [ − h sin ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) ] R cos β 0 y tan β 0 d y = h sin ω π ∫ 0 R sin β 0 ( 1 y 2 + h 2 + R 2 cos 2 β 0 − 1 y 2 sin 2 β 0 + h 2 ) d y = h sin ω π ∫ 0 R sin β 0 1 y 2 h 2 + R 2 cos 2 β 0 + 1 d y h 2 + R 2 cos 2 β 0 − h sin ω π ∫ 0 R sin β 0 1 y 2 h 2 sin 2 β 0 + 1 d y h 2 = h sin ω π ∫ 0 arctan R sin β 0 h 2 + R 2 cos 2 β 0 d u h 2 + R 2 cos 2 β 0 − h sin ω π ∫ 0 arctan R h sin β 0 h d v = h sin ω π h 2 + R 2 cos 2 β 0 arctan R sin β 0 h 2 + R 2 cos 2 β 0 − sin ω sin β 0 π arctan R h \begin{align}
&\int_0^{R \sin \beta_0} \int^{\frac{y}{\tan \beta_0}}_{R \cos \beta_0} \frac{2xh \sin \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)^2} dx dy
= \int_0^{R \sin \beta_0} \left[ - \frac{h \sin \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)} \right]^{\frac{y}{\tan \beta_0}}_{R \cos \beta_0} dy \notag \\
&= \frac{h \sin \omega}{\pi}\int_0^{R \sin \beta_0} \left( \frac{1}{y^2 + h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0} - \frac{1}{\frac{y^2}{\sin^2 \beta_0} + h^2} \right) dy \notag \\
&= \frac{h \sin \omega}{\pi}\int_0^{R \sin \beta_0} \frac{1}{\frac{y^2}{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0} + 1} \frac{dy}{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0} - \frac{h \sin \omega}{\pi} \int_0^{R \sin \beta_0} \frac{1}{\frac{y^2}{h^2 \sin^2 \beta_0} + 1} \frac{dy}{h^2} \notag \\
&= \frac{h \sin \omega}{\pi} \int_0^{\arctan \frac{R\sin \beta_0}{\sqrt{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0}}} \frac{du}{\sqrt{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0}} - \frac{h \sin \omega}{\pi} \int_0^{\arctan \frac{R}{h}} \frac{\sin \beta_0}{h} dv \notag \\
&= \frac{h \sin \omega}{\pi \sqrt{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0}} \arctan \frac{R\sin \beta_0}{\sqrt{h^2 + R^2 \cos^2 \beta_0}} - \frac{\sin \omega \sin \beta_0}{\pi} \arctan \frac{R}{h}
\end{align} ∫ 0 R s i n β 0 ∫ R c o s β 0 t a n β 0 y π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 2 x h sin ω d x d y = ∫ 0 R s i n β 0 [ − π ( x 2 + y 2 + h 2 ) h sin ω ] R c o s β 0 t a n β 0 y d y = π h sin ω ∫ 0 R s i n β 0 ( y 2 + h 2 + R 2 cos 2 β 0 1 − s i n 2 β 0 y 2 + h 2 1 ) d y = π h sin ω ∫ 0 R s i n β 0 h 2 + R 2 c o s 2 β 0 y 2 + 1 1 h 2 + R 2 cos 2 β 0 d y − π h sin ω ∫ 0 R s i n β 0 h 2 s i n 2 β 0 y 2 + 1 1 h 2 d y = π h sin ω ∫ 0 a r c t a n h 2 + R 2 c o s 2 β 0 R s i n β 0 h 2 + R 2 cos 2 β 0 d u − π h sin ω ∫ 0 a r c t a n h R h sin β 0 d v = π h 2 + R 2 cos 2 β 0 h sin ω arctan h 2 + R 2 cos 2 β 0 R sin β 0 − π sin ω sin β 0 arctan h R 4項目：
まずY方向に積分する。
∫ 0 x tan β 0 1 ( y 2 + x 2 + h 2 ) 2 d y = ∫ 0 x tan β 0 1 ( x 2 + h 2 ) 2 ( y 2 x 2 + h 2 + 1 ) 2 d y = x 2 + h 2 ( x 2 + h 2 ) 2 ∫ 0 x tan β 0 x 2 + h 2 1 ( u 2 + 1 ) 2 d u = x 2 + h 2 ( x 2 + h 2 ) 2 ∫ 0 arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) 1 ( tan 2 t + 1 ) 2 1 cos 2 t d t = x 2 + h 2 ( x 2 + h 2 ) 2 ∫ 0 arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) cos 2 t d t = x 2 + h 2 2 ( x 2 + h 2 ) 2 ∫ 0 arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) cos 2 t + 1 d t = x 2 + h 2 2 ( x 2 + h 2 ) 2 [ 1 2 sin 2 t + t ] 0 arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) = x 2 + h 2 2 ( x 2 + h 2 ) 2 [ tan t tan 2 t + 1 + t ] 0 arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) = x 2 + h 2 2 ( x 2 + h 2 ) 2 { x tan β 0 x 2 + h 2 x 2 tan 2 β 0 x 2 + h 2 + 1 + arctan ( x tan β 0 x 2 + h 2 ) } = 1 2 ( x 2 + h 2 ) − 1 x tan β 0 x 2 ( tan 2 β 0 + 1 ) + h 2 + 1 2 ( x 2 + h 2 ) − 3 2 arctan x tan β 0 x 2 + h 2 \begin{align}
&\int_0^{x \tan \beta_0} \frac{1}{(y^2 + x^2 + h^2)^2} dy \notag \\
&= \int_0^{x \tan \beta_0} \frac{\frac{1}{(x^2 + h^2)^2}}{(\frac{y^2}{x^2 + h^2} + 1)^2} dy
= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{(x^2 + h^2)^2} \int_0^{\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}}} \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du \notag \\
&= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{(x^2 + h^2)^2} \int_0^{\arctan(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}})} \frac{1}{(\tan^2 t + 1)^2} \frac{1}{\cos^2 t}dt \notag \\
&= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{(x^2 + h^2)^2} \int_0^{\arctan(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}})} \cos^2 t dt
= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{2(x^2 + h^2)^2} \int_0^{\arctan(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}})} \cos 2t + 1 dt \notag \\
&= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{2(x^2 + h^2)^2} \left[ \frac{1}{2}\sin 2t + t\right]_0^{\arctan(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}})}
= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{2(x^2 + h^2)^2} \left[ \frac{\tan t}{\tan^2 t + 1} + t\right]_0^{\arctan(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}})} \notag \\
&= \frac{\sqrt{x^2 + h^2}}{2(x^2 + h^2)^2} \left\{ \frac{\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}}}{\frac{x^2 \tan^2 \beta_0}{x^2 + h^2} + 1} + \arctan \left(\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}}\right)\right\} \notag \\
&= \frac{1}{2} (x^2 + h^2)^{-1} \frac{x \tan \beta_0}{x^2 (\tan^2 \beta_0 + 1) + h^2} + \frac{1}{2} (x^2 + h^2)^{-\frac{3}{2}} \arctan \frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}}
\end{align} ∫ 0 x t a n β 0 ( y 2 + x 2 + h 2 ) 2 1 d y = ∫ 0 x t a n β 0 ( x 2 + h 2 y 2 + 1 ) 2 ( x 2 + h 2 ) 2 1 d y = ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 ∫ 0 x 2 + h 2 x t a n β 0 ( u 2 + 1 ) 2 1 d u = ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 ∫ 0 a r c t a n ( x 2 + h 2 x t a n β 0 ) ( tan 2 t + 1 ) 2 1 cos 2 t 1 d t = ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 ∫ 0 a r c t a n ( x 2 + h 2 x t a n β 0 ) cos 2 t d t = 2 ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 ∫ 0 a r c t a n ( x 2 + h 2 x t a n β 0 ) cos 2 t + 1 d t = 2 ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 [ 2 1 sin 2 t + t ] 0 a r c t a n ( x 2 + h 2 x t a n β 0 ) = 2 ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 [ tan 2 t + 1 tan t + t ] 0 a r c t a n ( x 2 + h 2 x t a n β 0 ) = 2 ( x 2 + h 2 ) 2 x 2 + h 2 { x 2 + h 2 x 2 t a n 2 β 0 + 1 x 2 + h 2 x t a n β 0 + arctan ( x 2 + h 2 x tan β 0 ) } = 2 1 ( x 2 + h 2 ) − 1 x 2 ( tan 2 β 0 + 1 ) + h 2 x tan β 0 + 2 1 ( x 2 + h 2 ) − 2 3 arctan x 2 + h 2 x tan β 0 置換積分は以下のように行った。
x tan β 0 x 2 + h 2 = tan u h 2 tan β 0 ( x 2 + h 2 ) − 3 2 d x = d u cos 2 u \begin{align}
&\frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}} = \tan u \\
&h^2 \tan \beta_0 (x^2 + h^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{du}{\cos^2 u}
\end{align} x 2 + h 2 x tan β 0 = tan u h 2 tan β 0 ( x 2 + h 2 ) − 2 3 d x = cos 2 u d u 積分結果を今度はX方向に積分する。
∫ R cos β 0 0 1 2 ( x 2 + h 2 ) − 3 2 arctan x tan β 0 x 2 + h 2 d x = ∫ arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) 0 u d u 2 h 2 tan β 0 cos 2 u = 1 2 h 2 tan β 0 [ u tan u + log ( cos u ) ] arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) 0 = − 1 2 h 2 tan β 0 [ R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) × log { cos ( arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) ) } ] \begin{align}
&\int^0_{R \cos \beta_0} \frac{1}{2} (x^2 + h^2)^{-\frac{3}{2}} \arctan \frac{x \tan \beta_0}{\sqrt{x^2 + h^2}} dx \notag\\
&= \int^0_{\arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right)} \frac{u du}{2 h^2 \tan \beta_0 \cos^2 u} \notag \\
&= \frac{1}{2h^2 \tan \beta_0}\left[ u \tan u + \log (\cos u) \right]^0_{\arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right)} \notag \\
&= -\frac{1}{2h^2 \tan \beta_0} \left[ \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right)\right. \notag \\
&\hspace{11pt}\times \left.\log \left\{ \cos \left( \arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right) \right) \right\} \right]
\end{align} ∫ R c o s β 0 0 2 1 ( x 2 + h 2 ) − 2 3 arctan x 2 + h 2 x tan β 0 d x = ∫ a r c t a n ( R 2 c o s 2 β 0 + h 2 R s i n β 0 ) 0 2 h 2 tan β 0 cos 2 u u d u = 2 h 2 tan β 0 1 [ u tan u + log ( cos u ) ] a r c t a n ( R 2 c o s 2 β 0 + h 2 R s i n β 0 ) 0 = − 2 h 2 tan β 0 1 [ R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 arctan ( R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 ) × log { cos ( arctan ( R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 ) ) } ] ∫ R cos β 0 0 1 2 ( x 2 + h 2 ) − 1 x tan β 0 x 2 ( tan 2 β 0 + 1 ) + h 2 d x = ∫ R cos β 0 0 1 4 h 2 tan β 0 { 2 x ( tan 2 β 0 + 1 ) ( tan 2 β 0 + 1 ) x 2 + h 2 − 2 x x 2 + h 2 } d x = 1 4 h 2 tan β 0 [ log ( 1 + x 2 tan 2 β 0 x 2 + h 2 ) ] R cos β 0 0 = − 1 4 h 2 tan β 0 log ( 1 + R 2 sin 2 β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) \begin{align}
&\int^0_{R \cos \beta_0} \frac{1}{2} (x^2 + h^2)^{-1} \frac{x \tan \beta_0}{x^2 (\tan^2 \beta_0 + 1) + h^2} dx \notag \\
&= \int^0_{R \cos \beta_0} \frac{1}{4 h^2 \tan \beta_0} \left\{ \frac{2x(\tan^2 \beta_0 + 1)}{(\tan^2 \beta_0 + 1) x^2 + h^2} - \frac{2x}{x^2 + h^2} \right\} dx \notag \\
&= \frac{1}{4 h^2 \tan \beta_0} \left[ \log \left( 1 + \frac{x^2 \tan^2 \beta_0}{x^2 + h^2} \right) \right]^0_{R \cos \beta_0} \notag \\
&= - \frac{1}{4 h^2 \tan \beta_0} \log \left( 1 + \frac{R^2 \sin^2 \beta_0}{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2} \right)
\end{align} ∫ R c o s β 0 0 2 1 ( x 2 + h 2 ) − 1 x 2 ( tan 2 β 0 + 1 ) + h 2 x tan β 0 d x = ∫ R c o s β 0 0 4 h 2 tan β 0 1 { ( tan 2 β 0 + 1 ) x 2 + h 2 2 x ( tan 2 β 0 + 1 ) − x 2 + h 2 2 x } d x = 4 h 2 tan β 0 1 [ log ( 1 + x 2 + h 2 x 2 tan 2 β 0 ) ] R c o s β 0 0 = − 4 h 2 tan β 0 1 log ( 1 + R 2 cos 2 β 0 + h 2 R 2 sin 2 β 0 ) 結局4項目の積分結果は次のようになった。
∫ R cos β 0 0 ∫ 0 x tan β 0 2 h 2 cos ω π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 d y d x = − cos ω π tan β 0 [ R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) × log { cos ( arctan ( R sin β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) ) } ] − cos ω 2 π tan β 0 log ( 1 + R 2 sin 2 β 0 R 2 cos 2 β 0 + h 2 ) \begin{align}
&\int^0_{R \cos \beta_0} \int_0^{x \tan \beta_0} \frac{2h^2 \cos \omega}{\pi (x^2 + y^2 + h^2)^2} dy dx \notag \\
&= -\frac{\cos \omega}{\pi \tan \beta_0} \left[ \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right)\right. \notag \\
&\hspace{70pt}\times \left.\log \left\{ \cos \left( \arctan \left( \frac{R \sin \beta_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2}} \right) \right) \right\} \right] \notag \\
&\hspace{11pt}- \frac{\cos \omega}{2 \pi \tan \beta_0} \log \left( 1 + \frac{R^2 \sin^2 \beta_0}{R^2 \cos^2 \beta_0 + h^2} \right)
\end{align} ∫ R c o s β 0 0 ∫ 0 x t a n β 0 π ( x 2 + y 2 + h 2 ) 2 2 h 2 cos ω d y d x = − π tan β 0 cos ω [ R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 arctan ( R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 ) × log { cos ( arctan ( R 2 cos 2 β 0 + h 2 R sin β 0 ) ) } ] − 2 π tan β 0 cos ω log ( 1 + R 2 cos 2 β 0 + h 2 R 2 sin 2 β 0 ) この例では、対象が円板というシンプルな形をしているので、なんとか計算できたものの、2重積分しなければいけないというのは非常に厄介だ。
対象がもうちょっと変な形をしていたら、初頭関数を用いた解析的な表現を見つけることはほとんど不可能になってくる。
線積分によるView Factorの計算
面積分はストークスの定理を用ると、対象の面を取り囲むような線積分（Contour Integration）の形に置き換えられることがある。
これはいつでもできるわけではないが、View Factorの計算にはこの手法を適用できる。まずストークスの定理を確認しておこう。
∬ Ω ∇ × F ⋅ d s = ∫ ∂ Ω F ⋅ d l \begin{equation}
\iint_{\Omega} \nabla \times \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{s} = \int_{\partial \Omega} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{l}
\end{equation} ∬ Ω ∇ × F ⋅ d s = ∫ ∂ Ω F ⋅ d l 各パラメタを明示的に書くと次のようになる。
∬ Ω [ l ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) + m ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) + n ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) ] d s = ∫ ∂ Ω ( P d x d t + Q d y d t + R d z d t ) d t \begin{align}
\iint_{\Omega} \left[ l \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)
+ m \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)
+ n \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \right] ds \notag \\
= \int_{\partial \Omega} \left( P \frac{dx}{dt} + Q \frac{dy}{dt} + R \frac{dz}{dt} \right) dt
\end{align} ∬ Ω [ l ( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) + m ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) + n ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) ] d s = ∫ ∂ Ω ( P d t d x + Q d t d y + R d t d z ) d t さて、今求めたいView Factorは次のように表される。
F = ∫ A cos ψ cos λ π S 2 d A = ∫ ( x ⋅ n 1 ) × ( − x ⋅ n 2 ) π S 4 d A = ∫ ( − l 2 x f − m 2 y f − n 2 z f ) d A , w h e r e f = 1 π S 4 ( l 1 x + m 1 y + n 1 z ) \begin{align}
F &= \int_A \frac{\cos \psi \cos \lambda}{\pi S^2} dA
= \int \frac{(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{n}_1) \times (-\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{n}_2)}{\pi S^4} dA \notag \\
&= \int (-l_2 x f - m_2 y f - n_2 z f)\ dA, \quad
\mathrm{where}\quad f = \frac{1}{\pi S^4} (l_1 x + m_1 y + n_1 z)
\end{align} F = ∫ A π S 2 cos ψ cos λ d A = ∫ π S 4 ( x ⋅ n 1 ) × ( − x ⋅ n 2 ) d A = ∫ ( − l 2 x f − m 2 y f − n 2 z f ) d A , where f = π S 4 1 ( l 1 x + m 1 y + n 1 z ) これらの式を見比べると、ストークスの定理を用いるには、P , Q , R P,Q,R P , Q , R
∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z = − x f , ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x = − y f , ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y = − z f \begin{align}
\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = - x f, \quad
\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = - y f, \quad
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = - z f
\end{align} ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q = − x f , ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R = − y f , ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P = − z f 天下り的だが、このようにP , Q , R P,Q,R P , Q , R
P = − m 1 z + n 1 y 2 π S 2 , Q = − n 1 x + l 1 z 2 π S 2 , R = − l 1 y + m 1 x 2 π S 2 \begin{align*}
P = \frac{-m_1 z + n_1 y}{2 \pi S^2}, \hspace{10pt}
Q = \frac{-n_1 x + l_1 z}{2 \pi S^2}, \hspace{10pt}
R = \frac{-l_1 y + m_1 x}{2 \pi S^2}
\end{align*} P = 2 π S 2 − m 1 z + n 1 y , Q = 2 π S 2 − n 1 x + l 1 z , R = 2 π S 2 − l 1 y + m 1 x 本当に満たされているか、ひとつ確認してみよう。
∂ R ∂ y = ∂ ∂ y ( − l 1 y + m 1 x 2 π S 2 ) = − l 1 2 π S 2 − ( − l 1 y + m 1 x ) y π S 4 ∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z ( − n 1 x + l 1 z 2 π S 2 ) = l 1 2 π S 2 − ( − n 1 x + l 1 z ) z π S 4 \begin{align}
\frac{\partial R}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{-l_1 y + m_1 x}{2 \pi S^2} \right) = \frac{-l_1}{2 \pi S^2} - \frac{(-l_1y + m_1x)y}{\pi S^4} \\
\frac{\partial Q}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{-n_1 x + l_1 z}{2 \pi S^2} \right) = \frac{l_1}{2 \pi S^2} - \frac{(-n_1x + l_1z)z}{\pi S^4}
\end{align} ∂ y ∂ R ∂ z ∂ Q = ∂ y ∂ ( 2 π S 2 − l 1 y + m 1 x ) = 2 π S 2 − l 1 − π S 4 ( − l 1 y + m 1 x ) y = ∂ z ∂ ( 2 π S 2 − n 1 x + l 1 z ) = 2 π S 2 l 1 − π S 4 ( − n 1 x + l 1 z ) z ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z = − l 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) π S 4 + l 1 y 2 − m 1 x y − n 1 x z + l 1 z 2 π S 4 = − x ( l 1 x + m 1 y + n 1 z ) π S 4 = − x f \begin{align}
\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}
&= \frac{-l_1(x^2 + y^2 + z^2)}{\pi S^4} + \frac{l_1y^2 - m_1xy - n_1xz + l_1z^2}{\pi S^4} \notag \\
&= \frac{-x (l_1 x + m_1 y + n_1 z)}{\pi S^4} = -xf
\end{align} ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q = π S 4 − l 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + π S 4 l 1 y 2 − m 1 x y − n 1 x z + l 1 z 2 = π S 4 − x ( l 1 x + m 1 y + n 1 z ) = − x f 適切なP , Q , R P,Q,R P , Q , R
F = 1 2 π ∫ ( − m 1 z + n 1 y S 2 d x + − n 1 x + l 1 z S 2 d y + − l 1 y + m 1 x S 2 d z ) = l 1 ∫ z d y − y d z 2 π S 2 + m 1 ∫ x d z − z d x 2 π S 2 + n 1 ∫ y d x − x d y 2 π S 2 \begin{align}
F &= \frac{1}{2 \pi} \int \left( \frac{-m_1 z + n_1 y}{S^2} dx + \frac{-n_1 x + l_1 z}{S^2} dy + \frac{-l_1 y + m_1 x}{S^2} dz \right) \notag \\
&= l_1 \int \frac{z dy - y dz}{2 \pi S^2} + m_1 \int \frac{x dz - z dx}{2 \pi S^2} + n_1 \int \frac{y dx - x dy}{2 \pi S^2}
\end{align} F = 2 π 1 ∫ ( S 2 − m 1 z + n 1 y d x + S 2 − n 1 x + l 1 z d y + S 2 − l 1 y + m 1 x d z ) = l 1 ∫ 2 π S 2 z d y − y d z + m 1 ∫ 2 π S 2 x d z − z d x + n 1 ∫ 2 π S 2 y d x − x d y [ l 1 m 1 n 1 ] = [ sin ω 0 cos ω ] : Infinitesimal surface direction [ x y z ] = [ R cos α R sin α h ] : Line on the disk edge [ x y z ] = [ R cos α 0 y h ] : Line of the view edge \begin{align*}
&\left[ \begin{array}{c}l_1 \\ m_1 \\ n_1\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{c}\sin \omega \\ 0 \\ \cos \omega\end{array} \right]
&&:\quad \text{Infinitesimal surface direction} \\
&\left[ \begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{c}R \cos \alpha \\ R \sin \alpha \\ h\end{array} \right]
&&:\quad \text{Line on the disk edge} \\
&\left[ \begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{c}R \cos \alpha_0 \\ y \\ h\end{array} \right]
&&:\quad \text{Line of the view edge}
\end{align*} l 1 m 1 n 1 = sin ω 0 cos ω x y z = R cos α R sin α h x y z = R cos α 0 y h : Infinitesimal surface direction : Line on the disk edge : Line of the view edge Figure 3: Disk View Factor Calculation by Line Integration.
これで、View Factorを実際に計算する準備が整った。
ひとつ注意点として、円板の向きを表すベクトル( l 2 , m 2 , n 2 ) (l_2, m_2, n_2) ( l 2 , m 2 , n 2 )
F = l 1 ∫ z d y − y d z 2 π S 2 + n 1 ∫ y d x − x d y 2 π S 2 = sin ω ( ∫ α 0 − α 0 h ( R cos α ) 2 π ( R 2 + h 2 ) d α + ∫ − R sin α 0 R sin α 0 h 2 π ( R 2 cos 2 α 0 + y 2 + h 2 ) d y ) + cos ω ( ∫ α 0 − α 0 R sin α ( − R sin α ) − R cos α ( R cos α ) 2 π ( R 2 + h 2 ) d α + ∫ − R sin α 0 R sin α 0 − R cos α 0 2 π ( R 2 cos 2 α 0 + y 2 + h 2 ) d y ) = R h sin ω 2 π ( R 2 + h 2 ) ∫ α 0 − α 0 cos α d α + h sin ω 2 π ∫ arctan ( − R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) arctan ( R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) d t R 2 cos 2 α 0 + h 2 − R 2 2 π ( R 2 + h 2 ) ∫ α 0 − α 0 d α − R cos ω cos α 0 2 π ∫ arctan ( − R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) arctan ( R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) d t R 2 cos 2 α 0 + h 2 = − R h sin ω sin α 0 π ( R 2 + h 2 ) + h sin ω π R 2 cos 2 α 0 + h 2 arctan ( R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) + R 2 α 0 cos ω π ( R 2 + h 2 ) − R cos ω cos α 0 π R 2 cos 2 α 0 + h 2 arctan ( R sin α 0 R 2 cos 2 α 0 + h 2 ) \begin{align}
&F = l_1 \int \frac{z dy - y dz}{2 \pi S^2} + n_1 \int \frac{y dx - x dy}{2 \pi S^2} \notag \\
&= \sin \omega \left( \int_{\alpha_0}^{-\alpha_0} \frac{h (R \cos \alpha)}{2 \pi (R^2 + h^2)} d\alpha
+ \int_{-R \sin \alpha_0}^{R \sin \alpha_0} \frac{h}{2 \pi (R^2 \cos^2 \alpha_0 + y^2 + h^2)} dy \right) \notag \\
&\hspace{11pt}+ \cos \omega \left( \int_{\alpha_0}^{-\alpha_0} \frac{R \sin \alpha (-R \sin \alpha) - R \cos \alpha (R \cos \alpha)}{2 \pi (R^2 + h^2)} d\alpha
+ \int_{-R \sin \alpha_0}^{R \sin \alpha_0} \frac{- R \cos \alpha_0}{2 \pi (R^2 \cos^2 \alpha_0 + y^2 + h^2)} dy \right) \notag \\
&= \frac{Rh \sin \omega}{2 \pi (R^2 + h^2)} \int^{-\alpha_0}_{\alpha_0} \cos \alpha d\alpha
+ \frac{h \sin \omega}{2 \pi} \int_{\arctan(-\frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}})}^{\arctan(\frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}})} \frac{dt}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \notag \\
&\hspace{11pt}- \frac{R^2}{2 \pi (R^2 + h^2)} \int_{\alpha_0}^{-\alpha_0} d\alpha
- \frac{R \cos \omega \cos \alpha_0}{2 \pi} \int_{\arctan(-\frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}})}^{\arctan(\frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}})} \frac{dt}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \notag \\
&= - \frac{Rh \sin \omega \sin \alpha_0}{\pi (R^2 + h^2)} + \frac{h \sin \omega}{\pi \sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \arctan \left( \frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \right) \notag \\
&\hspace{11pt}+ \frac{R^2 \alpha_0 \cos\omega}{\pi (R^2 + h^2)} - \frac{R \cos \omega \cos \alpha_0}{\pi \sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \arctan \left( \frac{R \sin \alpha_0}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha_0 + h^2}} \right)
\end{align} F = l 1 ∫ 2 π S 2 z d y − y d z + n 1 ∫ 2 π S 2 y d x − x d y = sin ω ( ∫ α 0 − α 0 2 π ( R 2 + h 2 ) h ( R cos α ) d α + ∫ − R s i n α 0 R s i n α 0 2 π ( R 2 cos 2 α 0 + y 2 + h 2 ) h d y ) + cos ω ( ∫ α 0 − α 0 2 π ( R 2 + h 2 ) R sin α ( − R sin α ) − R cos α ( R cos α ) d α + ∫ − R s i n α 0 R s i n α 0 2 π ( R 2 cos 2 α 0 + y 2 + h 2 ) − R cos α 0 d y ) = 2 π ( R 2 + h 2 ) R h sin ω ∫ α 0 − α 0 cos α d α + 2 π h sin ω ∫ a r c t a n ( − R 2 c o s 2 α 0 + h 2 R s i n α 0 ) a r c t a n ( R 2 c o s 2 α 0 + h 2 R s i n α 0 ) R 2 cos 2 α 0 + h 2 d t − 2 π ( R 2 + h 2 ) R 2 ∫ α 0 − α 0 d α − 2 π R cos ω cos α 0 ∫ a r c t a n ( − R 2 c o s 2 α 0 + h 2 R s i n α 0 ) a r c t a n ( R 2 c o s 2 α 0 + h 2 R s i n α 0 ) R 2 cos 2 α 0 + h 2 d t = − π ( R 2 + h 2 ) R h sin ω sin α 0 + π R 2 cos 2 α 0 + h 2 h sin ω arctan ( R 2 cos 2 α 0 + h 2 R sin α 0 ) + π ( R 2 + h 2 ) R 2 α 0 cos ω − π R 2 cos 2 α 0 + h 2 R cos ω cos α 0 arctan ( R 2 cos 2 α 0 + h 2 R sin α 0 ) 非常に煩雑だった面積分の計算が、線積分に置き換えることでかなり簡略化されたのが分かる。
Reference
John R. Howell, M. Pinar Mengüç, “Radiative transfer configuration factor catalog: A lising of relations for common geometries”, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, Volume 112, Issue 5, 2011, Pages 910-912, https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2010.10.002
A Catalog of Configuration Factors, 3rd Edition, https://www.thermalradiation.net/indexCat.html
View Factor Calculator, https://sterad.net
Figure 1: Geometrical Configuration of a Disk and a Plate Element for View Factor Evaluation.
Figure 2: Disk View Factor Calculation by Area Integration.
Figure 3: Disk View Factor Calculation by Line Integration.